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유클리드 원론 - 2

by Toomuch 오래된미래3 2019. 12. 12.
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<원론>은 13권으로 되어 있다.

 

제1권

정 의 :

1. 점은 부분(넓이)이 없는 것이다.

2. 선은 나비(폭,두께)가 없는 것이다.

3. 선의 끝은 점이다.

4. 직선이란, 그 위의 점에 대해서 균일하게 가로놓인 선이다. (그 위의 모든 점이 곧게 놓여 있는 것이다.)

5. 면이란 길이와 폭(두께)만을 갖는 것이다.

6. 면의 끝은 선이다.

7. 평면이란, 그 위에 있는 직선에 대하여 균일하게 가로놓인 면이다.

8. 평면각이란, 평면상에 있고 서로 만나서 일직선으로 되는 두 개의 선 사이의 기울기이다.

9. 그리하여 각을 낀 두 개의 선이 직선을 이룰 때 그 각을 평각이라 한다.

10. 하나의 직선 위에 놓인 한 직선이 서로 같은 접각 (接角)을 만들 때, 이 같은 각을 각각 직각이라 한다. 그리고 두 직선을 각각의 직선에 대하여 수선이라고 한다.

11. 직각 보다 큰 각을 둔각(鈍角)이라 한다.

12. 직각 보다 작은 각을 예각(銳角)이라 한다.

13. 어떤 것의 끝을 경계(境界)라 한다.

 

 

 

14. 하나의 경계, 또는 한 개 이상의 경계에 의해 둘러싸인 것을 도형이라 한다.

15. 원이란, 그 도형의 내부에 있는 한 정점으로부터 곡선에 이르는 거리가 모두 같은 그러한 곡선에 의해 둘러싸인 평면도형이다.

☞ 현재 우리가 정의하고 있는 정의(평면상에서 한 정점으로부터의 거리가 일정한 점의 집합)와는 다르다.

16. 그리고, 이 정점을 원의 중심이라 한다.

17. 원의 지름이란, 원의 중심을 지나고, 그 양 끝이 원주로 끝나는 직선이다. 또 이러한 직선은 원을 이등분한다.

18. 반원이란, 하나의 지름과 그 지름에 의해 잘라내어진 도형이 둘러싼 도형이다. 그리고 반원의 중심은 전체 원의 중심과 같다.

19. 직선 도형이란, 몇 개인가의 직선에 의해 둘러싸인 도형이다.

20. 세 변으로 된 도형 중, 등변삼각형은 세 변이 같은 것을 가리키며, 이등변삼각형이란, 두개의 변이 같은 것을 말하고, 부등변삼각형은 세 변이 같지 않은 것이다.

21. 또, 삼각형 중에서 한 각이 직각인 것을 직각삼각형, 각인 것을 둔각삼각형, 그리고 세 각이 예각인 것을 예각 삼각형이라 한다.

22. 사변형 중, 등변이고 각이 직각인 것을 정사각형, 각이 직각이지만 등변이 아닌 것을 직사각형, 등변이지만 각이 직각이 아닌 것을 마름모, 대변과 대각이 같지만 등변, 직각도 아닌 것을 평행사변형이라 한다. 이것들 이외의 사각형을 부등변 사각형이라 한다.

23, (평행선의 정의) 평행선이란, 동일한 평면 위에 있고, 쌍방을 아무리 연장하여도 어느 방향에서도 만나지 않는 두 직선을 말한다.

 

 

 

 

[공준 : 요청]

공준은 기하학의 성립을 위하여 필요한 약속인 것이며 5개

 

다음 것들이 미리 요청되어 있다고 하자.

1. 임의의 점으로부터 다른 임의의 점에게로 직선을 긋는것.

2. 유한의 직선을 계속 곧은 선으로 반듯하게 연장하는 것(할 수 있다).

3. 임의의 중심과 거리(반지름)을 가지고 하나의 원을 그리는 것

4. 모든 직각은 서로 같다는 것.

5. 하나의 직선이 두 직선과 만날 때, 같은 쪽의 두 내각합이 2직각보다 작은 내각을 만들 때, 이들 두 직선을 한없이 연장하면 그 합이 2직각보다 작은 내각이 있는 쪽에서 만난다는 것.

 

[公理 : 공통개념 ] : 증명 없이 인정하는 것

수학의 기초로서 그 누구라도 공통적으로 인정해야 할 원칙인 것이며 기하학의 원본에 실려있는 것은 다음의 것이다.

 

1. 동일한 것에 같은 것은 서로 같다. 같은 것과 같은 두개의 것은 서로 같다.

2. 같은 것에 같은 것을 더하면 그 전체는 같다.

3. 같은 것에서 같은 것을 빼면, 그 나머지는 같다.

4. 서로 겹치는 둘은 서로 같다. (相等)

5. 전체는 부분보다 크다.

 

 

 

 

 

 

 

이상의 정의, 공준, 공리 뒤에 48개의 명제가 실려 있으며 이들은 모두 증명되어 있다.

[명1] 주어진 유한의 직선 위에 등변삼각형을 만드는 것 (작도)

[명2] 주어진 점을 끝점으로 하고, 주어진 직선과 같은 직선을 긋는 일 (작도)

[명3] 길이가 같지 않는 두 개의 직선을 주고, 작은 쪽과 같은 직선을 큰 쪽의 직선으로부터 잘라 내는 일(작도)

[명4] 삼각형의 合同定理 : 두 변과 끼인각의 크기가 같은 경우(SAS) 두 삼각형이 각각 서로 같은 변을 갖고, 이 같은 두 직선이 이루는 각이 같으면, 이 두 삼각형에서는 밑변이 밑변과 같고, 삼각형이 합동이며, 나머지 각이 나머지 각과 각각 같다.

[명5] 이등변 삼각형의 밑각은 서로 같다. 또, 서로 같은 직선(변)을 연장하면, 밑변 아래의 각은 서로 같다.

[명6] 삼각형의 두 각이 같으면, 같은 각의 대변끼리는 서로 같다.

[명7] 한 직선의 양끝에서 두 직선을 그어 한 점에서 만나게 하였을 때, 같은 양끝에서, 앞서 그었던 직선과 같은 직선을 같은 쪽에 그어서, 앞서의 교점과 다른 점에서 만나게 할 수는 없다.

[명8] 두 삼각형에서, 두 변이 각각 다른 두 변과 같고, 밑변은 밑변과 같을 때, 서로 같은 직선에 대한 각은 같다.

[명9] 주어진 각을 이등분하는 것

[명10] 주어진 유한의 선분을 이등분하는 것

[명11] 주어진 직선 상에 주어진 한 점을 지나고, 이 직선과 직각을 이루는 한 직선을 긋는 일

[명12] 주어진 무한직선에, 그 위에 없는 주어진 한 점으로부터 수직인 직선을 긋는 일

[명13] 한 직선이 다른 직선과 만나서 각을 이룰 때, 그 두 직선은 두개의 직각을 만들거나, 그 합이 두 직각과 같은 접각(接角)을 만든다.

[명14] 임의의 직선상의 한 점에서, 그 직선에 대해 같은 쪽에 있지 않는 두 직선이 두 직각과 같은 접각을 만들때, 이 두 직선은 서로 일직선을 이룬다.

[명15] 두 직선이 서로 만날 때, 서로 같은 맞꼭지각(對頂角)을 만든다.

[명16] 임의의 삼각형에서, 하나의 변을 연장하면, 외각은 내각및 내대각(內對角)의 어느 쪽 보다 크다.

[명17] 임의의 삼각형에서 어느 두각을 취하여도 그 합은 두 직각보다 작다.

[명18] 임의의 삼각형에서 큰 변은 큰 대각을 갖는다.

 

 

 

 

[명19] 임의의 삼각형에서 큰 각은 큰 대변을 갖는다.

[명20] 임의의 삼각형에서 어느 두 변을 취하여도 그 합은 나머지 변 보다 크다.

[명21] 한 삼각형의 한 변 위에, 그 양끝에서 삼각형의 내부에서 만나는 두 직선이 그어질 때, 이 두 직선의 합은 나머지 두 변의 합보다 작지만, 두 변이 이루는 각 보다도 큰 각을 이룬다.

[명22] 세 개의 주어진 직선과 각각 같은 직선을 써서 삼각형을 만드는 것. 이때, 직선중의 어느 둘을 취하여도 그 합은 나머지 직선보다 커야한다.

[명23] 주어진 직선 위에, 그 위에 있는 점을 꼭지점으로 하고, 주어진 각을 만드는 것

[명24] 두 삼각형이 서로 같은 두 변을 갖고, 이 두 변이 이루는 각 하나가 서로 같은 두 변이 이루는 각 보다도 크면, 그 밑면은 다른 밑면보다 크다.

[명25] 두 삼각형이 각각 서로 같은 두 변을 갖고, 한 삼각형의 밑변이 다른 밑변보다 크면, 그 삼각형의 같은 변이 이루는 각이 다른 삼각형의 그것보다 크다.

[명26] 두 삼각형이 각각 서로 같은 두 각을 갖고, 한 변이 한 변과 같으면, 즉 서로 같은 두 각에 접하는 변이나, 또는 서로 같은 각의 하나에 대한 변이 같은 면, 나머지 변은 나머지 변과 같고, 나머지 각은 나머지 각과 같다.

[명제27˜명제32] 평행선에 관한 것

[명27] 한 직선이 두 직선과 만나서 이루는 엇각이 서로 같으면, 이 두 직선은 서로 평행하다.

[명28] 한 직선이 두 직선과 만나서 이루는 동위각이 같거나 또는 동방내각(同傍內角)의 합이 두 직각과 같으면, 이 두 직선은 서로 평행하다.

[명29] 한 직선이 두 평행선과 만나서 이루는 엇각은 서로 같고, 동위각은 서로 같으며, 동방내(각의) 합은 두 직각과 같다.

[명30] 같은 직선에 평행인 두 직선은 또한 서로 평행이다.

[명31] 한 점을 지나서 주어진 직선에 평행선을 긋는 일

 

 

 

 

 

[명32] 임의의 삼각형에서 한 변을 연장할 때, 외각은 내각과 내대각의 합과 같고, 또, 삼각형에서 세 내각의 합은 두 직각과 같다.

[명33] 길이가 같고, 또한 평행인 두 직선의 끝을 각각 같은 방향으로 연결하는 두 직선은 역시 그 자신들이 같고, 또한 평행이다.

[명34] 평행사변형

[명35] 같은 밑변 위에 있고, 같은 평행선 안에 있는 평행사변형은 서로 같다.

[명36] 같은 밑변을 갖고, 또한 같은 평행선 안에 있는 평행사변형은 서로 같다.

[명37] 같은 밑변 위에 서고, 같은 평행선 안에 있는 삼각형은 서로 같다.

[명38] 서로 같은 밑변 위에 서고, 또한 같은 평행선 안에 있는 삼각형은 서로 같다.

[명39] 같은 밑변 위에 있고, 또한 같은 밑면의 같은 측에 있는 서로 같은 삼각형은 또한 같은 평행선 안에 있다.

[명40] 서로 같은 밑변 위에 서고, 또한 그것의 같은 측에 있는 서로 같은 삼각형은 같은 평행선 안에 있다.

[명41] 평행사변형과 삼각형이 같은 밑면을 갖고, 또한 같은 평행선 안에 있으면 평행사변형의 면적은 삼각형의 면적의 2배이다.

[명42] 주어진 각의 내부에 주어진 삼각형과 같은 평행사변형을 만드는 것

[명43] 임의의 평행사변형에서, 대각선에 관한 평행사변형의 보형(補形)은 서로 같다.

[명44] 주어진 직선을 한 변으로 하고, 주어진 각을 갖고 주어진 삼각형과 같은 평행사변형을 만드는 것

[명45] 주어진 각의 내부에 주어진 직선도형과 같은 평행사변형을 만드는 것

[명46] 주어진 선분(직선)위에 정사각형을 그리는 것

[명47] 피타고라스 정리 - 직각삼각형에서 직각의 대변 위의 정사각형(의 면적)은 직각을 낀 두 변 위의 정사각형(의 합)과 같다.

[명48] 삼각형에서, 한 변 위의 정사각형이 나머지 두 변 위에 선 정사각형(의 합)과 같으면, 삼각형의 나머지 두 변이 이루는 각은 직각이다

 

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