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유클리드 원론 - 1

by Toomuch 오래된미래3 2019. 12. 12.
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<유클리드 원론>

 

1. 무정의용어(無定義用語) : Undefined Term

처음부터 기본적이고 단순한 용어는 정의하지 않고 사용하며, 다른 용어는 이들 기본적인 용어를 사용해서 정의해 나간다.

* 그 자신은 다른 용어로 정의되지 않지만, 다른 용어를 정의하는데 기초가 되는 용어

( 예 : 점, 직선, 평면, 위에 있다. 사이에 있다. etc )

* 초등 기하학에서는 점, 직선, 평면등을 구체적으로 정의하지 않고 이들 상호 관계를 공리로 규정하고, 이 개념을 사용한 이론 체계를 만든다. 이와 같이 구체적으로 정의를 지우지 않고, 그 성질을 규정하는 수학적 개념을 무정의 용어라 한다. 이와 같이 정의 없이 사용하는 기본적인 용어를 무정의 용어라 한다. 수학에서 쓰는 용어를 정의할 때, 다른 용어가 필요해 지고 그 용어를 정의하기 위해서는 또 다시 다른 용어가 필요해 진다. 이와같이 거슬러 올라가면 가장 기본적인 용어에 도달하게 된다.

이 경우에도, 공리를 세웠을 때와 마찬가지로 이들 기본적인 용어는 그 이상 설명을 하지 않고 그대로 쓴다. 이와 같은 기본적인 용어를 무정의 용어라 한다.

 

 

1. 점( 点 : Point )

서로 다른 두 직선이 만나면 점을 만든다.

일반적으로 점을 정의하기는 어려운 일이다.

기하학 기초론에서는 직선과 함께 무정의 술어로 정의하고 공리에 의해 규정한다.

 

2. 직선( 直線 : Straight Line )

똑바른 선, 즉, 두 점 사이의 최단 거리를 주는 선을

말한다. 직선은 평면 및 입체 기하학의 기본적 요소의 하나이다. 기하학 기초론에서는 무정의 술어로 정의하고

공리에 의해 규정한다.

직선의 성질에서 다음과 같은 사실을 알 수 있다.

1. 직선은 두 점에 의해서 단 하나 결정된다.

만약 세 점이 일직선 위에 있다면, 세 점 중 하나는 다른 두 점 사이에 있다고 할 수 있다.

2. 직선은 그 위에 있는 한 점에 의하여 두 부분으로 나뉜다.

3. 직선은 그 두 방향으로 끝없이 뻗을 수 있다.

4. 동일한 평면 위에 있는 서로 다른 두 직선은 한 점(교점)을 공유한다든지, 아니면 한 점도 공유하지 않는다. 후자의 경우에 그들은 평행이라 불린다.

동일 평면 위에 없는 두개의 직선은 공유점을 갖지않는다. 이와 같은 직선은 평행이던가 아니면 서로 비틀린 위치(꼬인위치)에 있다.

 

 

 

 

3. 평 면 ( 平面 : Plane )

평평한 면 즉, 그 위에 어떤한 두점을 통과하는 직선도 반드시 그 위에 놓이게 되는 면을 말한다.

평면은 공간의 기본적인 기하학 요소(점, 직선, 면)의 하나이다 기하학 기초론에서는 평면을 무정의 용어로 하여 공리계에서 그 성질을 규명한다.

 

 

[평면의 성질]

평면은 한 직선 위에 있지 않는 세점에 의해서 단지 하나가 결정된다. 만일 한 직선 위의 두점이 한 평면 위에 있으면, 직선 전체는 이 평면 위에 있다.

두 평면은 한 직선에서 만나거나, 교점을 갖지 않는다.

점을 공유하지 않는 평면은 평행하다.

한 평면과 한 직선은 한 점에서 만나거나, 또는 직선 전체가 평면 위에 있거나, 또는 평면과 직선은 공유점을 갖지 않는다.(평행)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

공리(公理: Axiom)

증명없이 인정하는 것으로 무증명 명제(無證明 命題)라고도 한다.

수학의 이론은 순수하게 논리적으로 세워져 있다. 그러나 그 이론에 있어서의 명제나 그 증명의 전제를 거슬러 올라가서 더듬어 보면 그 이론에 있어서 처음부터 가정되어 있는 몇 개의 사항을 만나게 된다.

그 들의 사항을 그 이론의 공리라 한다.

 

어떤 기본적인 사실을 증명없이 옳다고 인정하고 추론의 최초의 근거로 삼는 것으로 절대 불변의 진리가 아니고, 기하학의 체계를 세우는 최초의 가정이라 생각하자.

* 어떤 성질을 증명할 때, 그 증명의 근거가 되는 성질을 거슬러 올라가면서 증명하려먼 또 다른 근거가 끊임없이 필요하게 된다. 따라서 몇 개의 명제를 증명없이 옳다고 인정하고 이것을 출발점으로 하여 여러 가지 성질을 증명해 나간다. 이때, 증명없이 옳다고 인정한 것들을 공리라 한다.

 

 

 

 

추론(推論:Argument) :

몇 개의 명제로 부터 다른 명제가 유도된다는 것을 주장 하는 것. 이 경우 전자를 전제(前提)라 하고 후자를 결론(結論)이라 한다. 하나의 추론은 전제(前提)가 모두 참이라면 결론도 참일 때에 한하며, 유효(有效)라고 한다.

 

공리는 증명없이 옳다고 가정하는 것이기 때문에 가능한 공리는 '객관적인 보편 타당성으로 해서 누구나 인정할 수 있어야 하고', '간단(簡單)할 뿐만 아니라 ', '그 개수가 작을 수록 좋다'는 것은 널리 알려진 사실이다.

 

공리계(公理系)의 무모순성(無矛盾性), 공리계의 독립성

기하에서 공리는 몇 가지로 한정된 것이 아니기 때문에 그 개수를 적게 잡을 수도 있고, 필요에 따라 그 개수를 많이 잡을 수도 있다.

 

 

 

정리( 定理 : Theorem )

한 명제가 참임을 증명하려면 몇 개의 참인 명제가 그 증명의 근거로 된다. 몇 개의 공리로 부터 논리적인 추론에 의해 어떤 명제가 참임을 추론하는 과정을 그 명제의 증명이라 하고, 이때, 참임을 증명한 명제 중에서 이후의 연구에 중요한 것을 정리라 한다.

 

 

정의(定義) : Definition

수학에서 사용하는 용어는 그 뜻을 명확히 해 두어야 한다. 수학상의 용어나 기호의 뜻을 명확하게 규정하는 문장 또는 식을 정의라 한다.

예) 이등변 삼각형 : 두변의 길이가 같은 삼각형

 

 

 

 

 

 

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